Recherches sur la bivalence

(eng) Logic is traditionally defined according to underlying principles. Among them, three seem particularly important. The principle of bivalence says that there are exactly two truth values, usually called True and False. The principle of excluded middle states that a sentence has at least one truth value. The principle of non-contradiction states that a sentence has at most one truth value. A logic that satisfies the conjunction of these three principles is called classical. By contrast, a logic is called non-classical if it does not obey at least one of them. In relation to these principles, three bivalent logics differ from classical logic insofar as they ignore the principle of excluded middle and/or the principle of non-contradiction: consistent logic satisfies the principle of non-contradiction, complete logic satisfies the principle of excluded middle and positive logic ignores both of these principles. In addition to classical logic, three bivalent (non-classical) logics can therefore be distinguished. I provide a unified framework for studying the semantic and syntactic relationships between these four bivalent logics. More specifically, my purpose is to characterize the notion of logical consequence within each of these logics. To do this, I propose a new definition of the notions of model and sequent which makes explicit these principles. For each of the logics mentioned above, I give a notion of validity and propose an associated sequent calculus.

(fre) La logique est traditionnellement définie à partir de principes qui la sous-tendent. Parmi ceux-ci, trois semblent particulièrement importants. Le principe de bivalence énonce qu'il existe exactement deux valeurs de vérité qui sont le Vrai et le Faux. Le principe du tiers-exclu énonce que toute formule possède au moins une valeur de vérité. Le principe de non-contradiction énonce que toute formule possède au plus une valeur de vérité. La logique classique est définie comme la logique qui repose sur la conjonction de ces trois principes. Par opposition, une logique est non classique si elle renonce à au moins un de ces principes. Dans cette perspective, trois logiques bivalentes se distinguent de la logique classique dans la mesure où elles ignorent le principe du tiers-exclu et/ou le principe de non-contradiction : la logique consistante souscrit au principe de non-contradiction, la logique complète souscrit au principe du tiers-exclu et la logique positive ignore ces deux principes. Outre la logique classique, trois logiques bivalentes (non classiques) sont dès lors envisageables. La présente dissertation est consacrée à l'étude des relations métathéoriques qu'entretiennent ces quatre logiques tant du point de vue sémantique qu'axiomatique. Plus précisément, nous nous proposons de caractériser la notion de conséquence logique propre à chacune de ces logiques. Pour ce faire, un cadre théorique unifié est développé à partir d'une redéfinition des notions usuelles de modèle et de séquent, explicitant les principes exposés précédemment. Pour chacune des logiques envisagées, nous présentons une notion de validité et exposons un calcul des séquents qui lui est associé.