Normalité

(fre) Le but de ce mémoire a été de généraliser la notion de sous-groupes normaux, connus dans la théorie des groupes, à d'autres domaines des mathématiques. Cette généralisation a pu se faire via la théorie des catégories. Dans un premier temps, nous avons donné la définition de sous-objets normaux pour les catégories. Ensuite, nous avons montré que dans le cadre des groupes, cette définition coïncide avec les sous-groupes normaux. De plus, étant donné, qu'il existe plusieurs manières équivalentes de définir un sous-groupe normal, nous avons essayé de généraliser, individuellement, chaque approche d'un point de vue catégoriel. Un second objectif a été alors de montrer sous quelles conditions ces nouvelles notions étaient équivalents à la notion de sous-objet normal. Pour se faire, nous avons dû introduire les notions de catégories régulières, exactes, de Mal'tsev, unitales, protomodulaires et semi-abéliennes. Bien entendu, nous avons à chaque fois regarder à quoi, cela correspondait dans la catégorie des groupes. Pour finir, nous avons caractérisé les sous-objets normaux via les commutateurs. Pour ce faire, nous avons fait une brève introduction à cette théorie en introduisant les commutateurs de Higgins et de Huq.

(eng) The purpose of this thesis was to generalize the notion of normal subgroups via the theory of categories. First of all, we introduce the definition of normal subobjects. We proved that in the category of groups, this notion of normal subgroups coincided with the concept of normal subobjects. Then, it is well-know, that in the category of groups, we can define the notion of normal subgroups via different equivalents ways. Therefore, we tried to define all these different ways individually. Then another goal of this thesis was to proof under which conditions each notion is equivalent to the normal subobject. Of course, we checked each time this categorical characterization in the category of groups. To do so, we needed to define new concepts such as: regular categories, exact categories, Mal'tsev categories, unital categories, protomodular categories and semi-abelian categories. And at the end, we introduced the notion of commutators to give a last characterization of normal subobjects via the commutator. We only gave a short introduction to this theory via the Higgins' commutator and the Huq's commutator.