Fonctionnelles d'Ambrosio-Tortorelli : approximation via la convergence Γ de la fonctionnelle de Mumford-Shah

(fre) Dans ce mémoire, nous introduisons la fonctionnelle de Mumford-Shah, fonctionnelle proposée par les deux mathématiciens éponymes en théorie de la segmentation d'image. Nous étudierons en particulier les fonctionnelles d'Ambrosio-Tortorelli, une suite de fonctionnelles dépendant d'un paramètre h conçues pour converger dans le sens de la convergence Γ vers celle de Mumford-Shah. Cette convergence a la propriété, sous une condition supplémentaire, de garantir la convergence des minimiseurs des fonctionnelles à paramètre vers ceux de la fonctionnelle limite. Nous prouvons donc l'existence de solutions à la fonctionnelle limite et proposons une méthode concrète pour les approximer. Nous étudierons au passage les mesures de Hausdorff et les fonctions à variation bornée.

(eng) In this thesis, we study the Mumford-Shah functional, introduced by the two eponymous mathematicians in image segmentation theory. More precisely, we introduce the Ambrosio-Tortorelli functionals, functionals depending on a parameter h designed to Γ-converge to the Mumford-Shah functional. This special type of convergence guarantee, with some little extra conditions, the convergence of the minimizers of the approximating functionals towards the minimizers of the limit functional. In this way, we will prove the existence of minimizers for the Mumford-Shah functional and provide a practical way to approximate them. Through this thesis, we will also briefly examine the Hausdorff measures and bounded variation functions theories.