Construction d’une géométrie non commutative invariante euclidienne à deux dimensions : champ magnétique conjugué dans l’espace de phase

À la recherche d'une théorie de la gravitation quantique, il s'est avéré que l'utilisation d'une géométrie non commutative sur l'espace des positions pourrait s'avérer essentielle. Ainsi, nous allons construire dans ce mémoire une géométrie non commutative invariante euclidienne sur l'espace de configuration en mécanique quantique. Cette approche aura la particularité que nous allons la justifier à partir d'un champ magnétique conjugué. Ce mémoire est composé de quatre chapitres : le premier chapitre s'intéressera à un champ magnétique stationnaire dans le temps, qui nous montrera comment obtenir une géométrie non commutative sur l'espace de conjugaison en utilisant des transformations sur les coordonnées de l'espace de phase et les crochets de Poisson. Dans le deuxième chapitre, nous introduisons les actions de premier ordre, une classe de Lagrangiens qui nous permettent de calculer les crochets de Poisson directement à partir du Lagrangien sans devoir passer par des coordonnées canoniques. Nous appliquons cette méthodique à quatre cas, dont en particulier le champ magnétique conjugué. Ce dernier nous a permis d'obtenir une géométrie non commutative sur l'espace de configuration. Lors du troisième chapitre, nous réduisons notre espace à deux dimensions, utilisons un potentiel magnétique conjugué constant et quantifions notre système. En utilisant le théorème de Darboux, il nous est possible d'établir une dualité entre le cas commutatif et non commutatif. Nous finissons cette partie par la construction d'une représentation d'états non commutatifs et par analyser leurs propriétés, comme par exemple les relations d'orthogonalité et de complétude, toujours en gardant comme analogue le cas commutatif. Pour le dernier chapitre, nous avons décidé d'analyser un exemple plus concret, le puits non commutatif, que nous avons approché de deux manières différentes: d'une part en utilisant le puits de potentiel commutatif et d'autre part, en construisant un projecteur permettant d'imiter le puits de potentiel commutatif dans le cas non commutatif. While searching for a theory of quantum gravity, it turned out that the use of non-commutative geometry on position space could prove to be essential. This way, we are going to build in this thesis a noncommutative Euclidean invariant geometry on the configuration space in quantum mechanics. This approach will have the particularity that we will justify it from a conjugated magnetic field. This thesis is divided into four chapters: the first chapter will focus on a stationary magnetic field in time, which will show us how to obtain a non-commutative geometry on the conjugation space using transformations on the phase space coordinates and the Poisson brackets. In the second chapter, we introduce first-order actions, a class of Lagrangians which allow us to calculate Poisson brackets directly from the Lagrangian without having to go through the canonical coordinates. We apply this method to four cases, including in particular the conjugated magnetic field. The latter allowed us to obtain a non-commutative geometry on the configuration space. In the third chapter, we reduce our space to two dimensions, use a constant conjugate magnetic potential, and quantize our system. Using Darboux's theorem, it's possible to establish a duality between the commutative and non-commutative case. We end this chapter by constructing a representation of noncommutative states and analyzing their properties, such as the orthogonality and completeness relations, always keeping the commutative case as analog. For the last chapter, we decided to analyze a concrete example, the non-commutative well, which we approached in two different ways: on the one hand using the commutative potential well and on the other hand, by constructing a projector making it possible to imitate the commutative potential well in the non-commutative case.