Nœuds topologiques entrelacés de champs électromagnétiques et trajectoires de particules chargées

Les hopfions, ou nœuds électromagnétiques, sont des solutions fascinantes aux équations de Maxwell dans le vide et sans source. Leur caractéristique principale est que chaque ligne de champ électrique et magnétique est entrelacée avec toutes les autres du même champ. De ces configurations émergent d’intéressantes propriétés topologiques, comme la conservation d’invariants topologiques, et un lien avec la physique des particules. Dans ce texte, des hopfions sont générés avec trois approches différentes, conduisant néanmoins toujours au même nœud électromagnétique. Tout d’abord, plusieurs transformations conformes successives sont appliquées à des champs électrique et magnétique homogènes et statiques possédant la propriété de « null-field », c’est-à-dire tels qu’ils soient perpendiculaires entre eux et de même intensité. Le hopfion ainsi créé ne se trouve pas dans son repère propre, mais peut y être considéré en lui appliquant un boost de Lorentz judicieux. Pour trouver celui-ci, il est nécessaire de calculer l’énergie et la quantité de mouvement électromagnétiques totales du hopfion, ce qui permet également de produire des figures représentant leur distribution dans l’espace. La deuxième méthode utilise le modèle topologique de l’électromagnétisme de Rañada, datant 1989, et demande de décrire les lignes de champs électrique et magnétique comme les courbes de niveaux de deux champs scalaires complexes qui sont en fait la fibration ou carte de Hopf envoyant l’espace compactifié en la 3-sphère vers le plan complexe compactifié en la 2-sphère. Cette approche met en lumière le lien entre le nombre d’entrelacement, qui correspond à l’hélicité, des champs électrique et magnétique et l’index de Hopf de la carte de Hopf. La dernière approche est celle de Bateman. Il s’agit ici d’exprimer le vecteur de Riemann-Silberstein en terme de potentiels d’Euler complexes. Cette formulation permet de démontrer deux propriétés : il existe un lien, dans le cas du hopfion, entre l’hélicité des champs et l’hélicité des particules ; et même après qu’il ait été soumis à une transformation conforme, un hopfion reste un nœud. Les équations pour la trajectoire d’une particule chargée, avec ou sans masse, dans un champ électromagnétique statique et homogène sont dérivées. Leur solution analytique est ensuite calculée dans le cas d’un « null-field ». Les équations pour la trajectoire d’une même telle particule, mais cette fois dans le voisinage d’un hopfion, sont ensuite dérivées à partir d’une nouvelle succession de transformations conformes appliquées à la formulation de Bateman d’une configuration du champ électromagnétique homogène et statique. La solution est approchée par en développement en série au premier ordre de l’inverse de l’échelle de longueur du hopfion. Cette solution n’est pas très parlante. Nous en concluons donc qu’il faut s’en remettre à une résolution totalement numérique pour se faire une idée des propriétés génériques des trajectoires d’une particule chargée en présence d’un hopfion. Hopfions, or electromagnetic knots, are fascinating solutions to the sourceless Maxwell equations in vacuum. Their main characteristic is that each line of electric and magnetic field is interlaced with all the others of the same field. From these configurations emerge interesting topological properties, such as the conservation of topological invariants, and a connection to particle physics. In this text, hopfions are generated through three different approaches, leading to the same electromagnetic knot each time. First, a succession of conformal transformations is applied to homogeneous and static electric and magnetic fields also having the property of "null-field", that is that they are perpendicular to each other and have the same strength. The hopfion thus created is not in its own rest frame, but can be boosted to it by applying the relevant Lorentz transformation. To identify the latter boost, it is necessary to compute the hopfion’s total electromagnetic energy and momentum, which also allows us to represent their respective distributions in space. A second method uses the 1989 topological model of electromagnetism by Rañada, in which the electric and magnetic field lines are the level curves of two complex scalar fields which are in fact Hopf fibrations mapping the 3-sphere compactification of space onto the 2-sphere compactification of the complex plane. This approach highlights the identification between the winding number, which corresponds to the helicity, of the electric and magnetic field lines and the Hopf index of the Hopf maps. The final approach is that of Bateman, which represents the Riemann-Silberstein vector in terms of complex Euler potentials. This formulation makes it possible to establish two properties: there is a direct correspondence, in the case of the hopfion, between the helicity of the fields and the helicity of their particle quanta; while even after it has undergone conformal transformations, a hopfion remains a knot. The equations for the trajectory of a charged particle, with or without mass, in a static and homogeneous electromagnetic field are then derived. Their analytic solution is computed in the case of a "null field". The equations for the trajectory of a same such particle, but this time in the background of a hopfion, are then derived from a new succession of conformal transformations applied to the Bateman formulation of a homogeneous and static configuration of the homogeneous electromagnetic field. The solution is approximated through a perturbative approach to first order in the inverse of the hopfion characteristic length scale. This solution is not very telling. We therefore conclude that it is necessary to rely on a fully numerical resolution of the equations to gain insight into ​​the generic properties of the trajectories of a charged particle in the presence of a hopfion.