Ginzburg-Landau et champs de croix : apports liés aux applications de maillage

(fre) Les minimiseurs de fonctionnelles dites “de Ginzburg-Landau” sont des fonctions qui minimisent à la fois leurs variations et les passages de leurs normes à des valeurs différentes de 1. L’arbitrage entre l’importance de ces deux éléments se fait via un paramètre epsilon. Lorsqu’il est pris tendant vers 0, la norme des minimiseurs vaut 1 partout sauf en un nombre fini de points si nécessaire. Cette présence de points que nous dirons singuliers dépend de la surface considérée. L’étude de fonctionnelles de Ginzburg-Landau est en plein essor. Dans le cadre d’applications de maillage, ces fonctionnelles sont notamment utilisées pour la construction de champs de croix les plus réguliers possibles destinés à être des supports pour la construction de maillages quadrangulaires les plus réguliers possibles. Dans ce contexte, les points singuliers des minimiseurs de fonctionnelles de Ginzburg-Landau peuvent être mis en correspondance avec des noeuds singuliers dans les maillages que nous cherchons à construire. En effet, ces maillages poursuivent les deux mêmes objectifs que ceux impliqués dans les fonctionnelles de Ginzburg-Landau, à savoir, être les plus réguliers possibles et optimiser le nombre et le placement de points singuliers s’il en faut. Dans le cadre de surfaces à courbure non constante, l’introduction d’un gradient covariant peut potentiellement permettre de construire des fonctionnelles de Ginzburg-Laudau plus adéquates pour ces surfaces. Une fonctionnelle de Ginzburg-Landau contenant un gradient covariant sera étudiée et quelques résultats liés à d’autres fonctionnelles de Ginzburg-Landau seront donnés. Nous verrons aussi que l’adéquation entre résultats mathématiques et résultats numériques est compliquée surtout lorsque nous cherchons à obtenir numériquement des résultats analogues à une étude mathématique impliquant un paramètre epsilon tendant vers 0.

(eng) Minimizers of so-called Ginzburg-Landau functionals are functions that minimize both their variations and the passage of their norms to values ​​different from 1. The arbitration between the importance of these two elements is done via a parameter epsilon. When epsilon is set to 0, the norm of the minimizers is 1 unless, if necessary, in a finite number of points. The presence of those points (called singular points) depends on the surface considered. The study of Ginzburg-Landau functionals is fashionable. In the context of mesh applications, these functionals are notably used for the construction of the most regular possible cross fields intended to be supports for the construction of quadrangular meshes as regular as possible. In this context, the singular points of minimizers of Ginzburg-Landau functionals can be mapped to singular nodes in the meshes we are trying to construct. Indeed, these meshes pursue the same two objectives as those involved in the Ginzburg-Landau functionals, namely, be as regular as possible and placing singular nodes in an optimized manner if singular nodes are necessary. In the case of non-constant curvature surfaces, the introduction of a covariant gradient can potentially make it possible to construct Ginzburg-Laudau functionals that are more suitable for these surfaces. A Ginzburg-Landau functional containing a covariant gradient will be studied and some results related to other Ginzburg-Landau functionals will be given. We will also see that the adequacy between mathematical results and numerical results is complicated especially when we try to obtain numerical results similar to those of a mathematical study involving an epsilon parameter tending towards 0.